空の記録-Gallery of Atmospheric Optics

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大気光学現象のシミュレーション作成#3-4

大気光学現象大気光学現象シミュレーション作成

2023/11/11

Unityで大気光学現象のシミュレーションはできるのか気になったので挑戦してみる6

上部タンジェントアークのシミュレーションに必要な計算のうちの一つを求めれたのでそれを紹介します。

上部タンジェントアークの計算には「水平な面との一定の角度(a)をなす線を、垂直な軸を中心に任意の角度x回転し、平面に写した時、水平な面と線のなす角度y」を求める必要がありました。

図で表すと、

左から見ると、

aとbは実際の角度。yは見かけの角度になります。

ではyを求めていきます

Oは原点(0,0,0)

線分AOは水平な面とa°の角度をなし、Y軸中心にx度回転させる

AのZ座標を0にした場所がB

yは線分BOとy軸がなす角

AのY座標を0にした場所がD(真下に線を下した時の平面との交点)

DのX座標を0にした場所がC

AのX座標とZ座標を0にした場所がE

DAの長さを三角関数を使って求めると、

$DA=OA\cdot \sin \left( a\right)$

これがAとBのy座標になります。

DOの長さも三角関数を使って求めると

$DO=OA\cdot \cos \left( a\right)$

対頂角は等しいので

$\angle DOC=x$

CDの長さを三角比を使って求めると

$CD=DO\cdot \sin \left( x\right)$

$=OA\cdot \cos \left( a\right) \cdot \sin \left( x\right)$

これがAとBのX座標になります。

OとD、EとAのY座標はそれぞれ等しいので

$OE=DA$

$=OA\cdot \sin \left( a\right)$ ・・・①

EとC、BとDのX座標はそれぞれ等しいので

$EB=CD$

$=OA\cdot \cos \left( a\right) \cdot \sin \left( x\right)$ ・・・②

ｙの角度は①と②より三角関数を使って求めると

$y=\tan ^{-1}\dfrac{EB}{OE}$

$y=\tan ^{-1}\dfrac{OA\cdot \cos \left( a\right) \sin \left( x\right) }{OA\cdot \sin \left( a\right) }$

$y=\tan ^{-1}\dfrac{\cos \left( a\right) \sin \left( x\right) }{\sin \left( a\right) }$

この式を求めないといけない訳は、上部タンジェントアークの光路は氷晶が回転することで光線が正規面から外れ、氷を出る時に水平面での回転が起こるためです。

幻日や環天頂アークなどは光が回転することで正規面から外れるので最終的には角度は元に戻るためこの式は必要ありません。